Том народився у Лондоні. Вивчав акторську майстерність у Ґілдголській школі музики та театру. Під час навчання брав участь у професійних постановках Пітер Пен та Макбет.
Перший досвід телезйомок Том отримав у 2013 році на знімальному майданчику медичного телесеріалу Нещасний випадок, який виходить на BBC з 1986 року.
Починаючи з травня 2017 Ґлінн-Карні грає роль Шейна Коркорана у п'єсі Джеза Баттерворта Поромник.
У липні 2017 року вийшов перший повнометражний фільм за його участі — військова драма «Дюнкерк» режисера Крістофера Нолана. Том виконав роль Пітера — сина капітана цивільного човна, що вийшов на порятунок англійських бійців із оточення у Дюнкерку.
