Сергій Газаров народився 13 січня 1958 року в місті Баку (Азербайджанська РСР). За національністю — вірменин.
Батько Сергія був директором цукеркової фабрики, а потім — директором винного заводу в Баку. Мати працювала бухгалтером, але за професією майже не працювала.
На вступних іспитах до ГІТІС, на курс Олега Павловича Табакова, Сергій Газаров читав уривок з повісті «Ніс» Миколи Гоголя. Актор згадує:
«Тільки приїхав з Баку, і в мене був яскраво виражений акцент. Педагоги попадали з крісел. Благали Табакова мене не брати, а він вчинив інакше».
У 1980 році Газаров закінчив акторський факультет Державного інституту театрального мистецтва імені А. В. Луначарського (ГІТІСу).
Після закінчення інституту працював в московському театрі «Современник».
З 1986 по 1991 роки входив до трупи в Московському театрі-студії під керівництвом Олега Табакова, де в 1991 році поставив спектакль «Ревізор», за що цього ж року був удостоєний премії Спілки театральних діячів Росії за найкращий спектакль року.
У 1991 році організував приватну кінокомпанію «Микита і Петро».
З 1998 по 2001 рік — головний режисер Московського драматичного театру під керівництвом Армена Джигарханяна.
У кіно дебютував у 1980 році, знімаючись в епізодичних ролях. Перша головна роль — латиноамериканець Рауль Санчес у радянській соціально-сатиричної драмі «Виграш самотнього комерсанта» (1984) чилійського кінорежисера Себастьяна Аларкона.
У 1989 році дебютував як режисер кіно, знявши трагікомічну мелодраму «Крейзі». Тоді ж поставив спільно з Олегом Павловичем Табаковим спектакль «Дах».
У 2019 році поставив нову версію вистави «Ревізор» у Театрі Олега Табакова.
Після смерті Армена Джигарханяна в листопаді 2020 року, колектив театру вирішив звернутися з проханням до департаменту культури Москви про призначення Газарова художнім керівником театру.
8 грудня 2020 року призначений художнім керівником Московського драматичного театру під керівництвом Армена Джигарханяна.