Олексій Вертков народився 31 березня 1982 року у Новосибірську.
Під час навчання у середній загальноосвітній школі займався у пришкільній театральній студії під керівництвом Наталії Пилипівни Єрошиної. Після дев'ятого класу з її допомогою підготувався до іспитів і вступив до Новосибірського театрального училища (керівник курсу — Сергій Миколайович Афанасьєв), яке закінчив у 2001.
З 1998 року, будучи студентом училища, був зайнятий у спектаклях Новосибірського міського драматичного театру під керівництвом Сергія Афанасьєва, де серед іншого зіграв Шута в «Королі Лірі», Зілова-хлопчика в «Качиному полюванні».
У 2001 році в Москві вступив на режисерський факультет РАТІ-ГІТІСу за спеціальністю «Акторське мистецтво» (керівник курсу — Сергій Васильович Женовач), а в 2005 році закінчив його. У тому ж році з цього випускного курсу було створено театр «Студія театрального мистецтва» (СТІ) під керівництвом Сергія Женовача, де Олексій Вертков став одним із провідних артистів.
Актор співпрацює з Московським Художнім театром імені А. П. Чехова. 2 листопада 2017 року у театрі відбулася прем'єра вистави «Світлий шлях. 19.17» режисера Олександра Молочникова, присвяченого 100-річчю Жовтневої революції 1917 року, в якому Олексій Вертков зайнятий у ролі Баса Його Величності.
У 2018 році Вертков запрошений на головну роль (Мисливець) у виставі «Му-му», комедії дель Арте за творами І. С Тургенєва, режисера Дмитра Кримова в Державному театрі націй, прем'єра якого відбулася 12 квітня 2018 року.