Адріано Челентано походить з бідної сім'ї звичайних робітників, яка у 1927 році рушила з провінції Фоджа (регіон Апулії) на північ Італії в пошуках нового місця проживання і роботи. Спочатку сім'я знайшла притулок у провінції П'ємонт, потім члени родини вирішили йти далі, в Ломбардію, де винайняли маленький будиночок у селі Робекко поблизу Монци. Сім'я складалася з батька Леонтіно Челентано (1890—1951), матері Джудітти Джува (1897—1973), сина Алессандро (1920—2009) та дочок Рози (1917—2003), Марії (1922—2012), Адріани (1925—1934). 1934 року родину спіткало лихо: померла від лейкемії молодша дочка Адріана, через що сім'я змінила місце проживання ще раз, оселившись в найбіднішому кварталі Мілана, на «вулиці Ґлюка» («Via Gluck»).
Адріано народився 6 січня 1938 року (у день Бефани), коли його матері було 40 років, спочатку ніхто не вірив, що п'ята дитина виживе. Він отримав ім'я на честь померлої сестри Адріани.
Під час Другої світової війни батько Адріано не потрапив під мобілізацію за віком, після війни він працював в текстильній лавці й в залізничному депо поруч з будинком, тому що там можна було отримувати вугілля для обігріву будинку. Потім він став продавцем компанії «Mellin», продукцією якої були бісквіти для дітей. Матір Адріано працювала швачкою.
У сім'ї Челентано полюбляли співати та грали відразу на декількох інструментах — гармоніці, мандоліні та гітарі. Старший брат Алессандро, який займався боксом, мріяв зробити з Адріано справжнього боксера. Тому що нічого путнього і пристойного, на думку Алессандро, з Адріано вийти не могло і єдине, чим молодший брат займався із задоволенням і вмінням, була бійка. Адріано був незмінним учасником всіх дворових розборок і походів своїх товаришів на сусідній район Самартіні. Друзів і знайомих у нього було завжди багато. Після ранкового відвідування Адріано школи, вдень, мати відправляла його в каплицю до ченців, де був парафіяльний молодіжний клуб, там він грав в м'яч з іншими хлопцями та робив те, що йому хотілося, перебуваючи при цьому, під доглядом, коли вона працювала. За словами матері, Адріано не подобалося вчитися. Їй здавалося, що в школу він ходив лише для того, щоб побачитися з друзями і щоб вчергове пожартувати, те ж саме відбувалося і в парафії, де священник скаржився, що Адріано його передражнює.
Після смерті батька Леонтіно, Адріано разом з матір'ю був змушений покинути улюблену «вулицю Глюка» і переселитися в інший будинок, що було дуже болісним для нього. З роками ці спогади лягли в основу сюжету знаменитої пісні Челентано «Il ragazzo della via Gluck».
Залишивши школу після шести класів навчання, Адріано став працювати, пробуючи себе учнем токаря, електриком, сантехніком, але особливо йому сподобалося працювати годинникарем в майстерні своїх двоюрідних братів, він опанував цю професію в короткий термін і навіть зміг купити ліцензію. З часом Челентано казав, що передусім він — годинникар, і тільки потім — співак, актор і режисер.
В юності Адріано часто зображав відомого американського коміка Джеррі Льюїса, і його сестра надіслала на конкурс двійників одну з фотографій, де її брат був в образі цього артиста. В результаті Челентано посів перше місце та виграв 100 000 лір.
У 17-річному віці, після того як один із друзів Челентано приніс йому платівку з піснею «Rock Around the Clock» («Рок цілодобово») у виконанні Білла Гейлі, до того ж в Італії вийшов фільм «Шкільні джунглі» (1955), супроводом якого був цей хіт, Адріано почав виявляти інтерес до музики, зокрема, до рок-н-ролу, став вчитися грати на гітарі, писати тексти і співати пісні. Щочетверга і щосуботи він почав відвідувати танцювальний зал «Filocontanti», де і дебютував на сцені. Серед перших виступів Челентано на сцені стало пародіювання американського музиканта Луї Пріми в аматорському спектаклі-водевілі.
