Каветт народився у штаті Небраска у Гіббоні. Його мати, Ерабель «Ера» (дівочеп Річардс), і його батько, Альва Б. Каветт працювали вчителями. Дік Каветт має шотландське, ірландське, англійське й, частково, французьке й німецьке коріння. Один його дід приїхав з Англії, а другий з Уельсу. Усі бабусі і дідусі Кавета жили в Ґранд-Айленді, штат Небраска. Його бабуся і дідусь по батькові були Альва А. Каветт і Гертруда Пінш. Його дідусь по батькові був із Діллера, штат Небраска, а бабуся по батькові була переселенкою з Ахена, Німеччина. Його бабця та дід по матері були Преподобний Р. Р. та Етта Мей Річардс. Преподобний Річардс був з Кармартана, Вельс, й був баптистським служителем у центральній частині Небраски. Сам Дик Каветт — агностик.
У 8-му класі Дик Каветт вів суботнє ранкове радіо-шоу й зіграв головну роль у «Вінсловському хлопчику». Однією з його однокласників була акторка Сенді Денніс. Каветт був державним президентом учнівської ради середньої школи та золотим призером на Небраському чемпіонаті з гімнастики.
Перед коледжом він працював кедді у Лінкольнському сільському клубі. У 1952 році Каветт взяв участь у з'їзді Міжнародного братства магів у Сент-Луїсі, штат Міссурі, і завоював трофей «Найкращий новий виконавець». Приблизно в той же час він заприятелював зі старшим на 11 років магом Джонні Карсоном, що показував магію в церкві в Лінкольні.
У Єльському університеті Каветт грав й ставив драми на радіостанції містечка WYBC та виступав у постановках Єльської драми. На останньому році університету він змінив освітню програму з англійської мови на драму.
